フラクタル構造はいたるところで微分不可能な連続曲線という病理的な性質をもっている．今回のコラムでは導関数をもたない連続関数について考察する．

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【１】ワイエルシュトラスの例

　いかなるところでも微分可能でない関数の最初の例はワイエルシュトラスに負っている．

［１］０＜ａ＜１，ａｂ＞１＋３π／２＝５．７１２，ｂは奇数．このとき

　　Ｗ（ｔ）＝Σ(0,∞)ａ^nｃｏｓ（ｂ^nπｔ）

［２］Ｅ（ｔ）＝−２ｔ＋１　　　（０≦ｔ≦１）

　　　Ｅ（ｔ）＝２ｔ−３　　　　（１≦ｔ≦２）

この定義をすべての実数ｔに拡張して，Ｅ（ｔ）は周期２の周期的偶関数とする．

　　Ｅ（−ｔ）＝Ｅ（ｔ），Ｅ（ｔ＋２）＝Ｅ（ｔ），Ｅ（ｔ＋１）＝−Ｅ（ｔ）

　　Ｅ（ｔ＋ｋ）＝（−１）^kＥ（ｔ），Ｅ（ｎ）＝（−１）^n

　　０＜ａ＜１，ａｂ＞４，ｂは奇数．このとき

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,∞)ａ^nＥ（ｂ^nｔ）

はいかなるところでも微分可能ではない．たとえば

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,∞)Ｅ（９^nｔ）／２^n

はいかなるところでも微分可能でない．

［３］ｆ（ｔ）＝０　　　　　　（０≦ｔ≦１／３）

　　　ｆ（ｔ）＝３ｔ−１　　　（１／３≦ｔ≦２／３）

　　　ｆ（ｔ）＝１　　　　　　（２／３≦ｔ≦１）

　　　Ｓ（ｔ）＝３／４（Ｅ（ｔ−１）＋１）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　　　Ｓ（ｔ）＝３ｔ／２　　　　　　（０≦ｔ≦１）

　　　Ｓ（ｔ）＝−３ｔ／２＋３　　　（１≦ｔ≦２）

は周期２の連続な偶関数である．

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　Ｓ（９^nｔ）＝３／４（Ｅ（９^nｔ−１））＋３／４＝３／４（Ｅ（９^n（ｔ−１））＋３／４　　　（∵９^n＝１　　（ｍｏｄ２））ﾝ

　　　Σ(0,∞)Ｓ（９^nｔ）／２^n＝３／４（Ｆ（ｔ−１））＋３／２

はいかなるところでも微分可能でない．

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