ｉ＝ｅｘｐ（ｉπ／２）・・・虚軸上の点

　ｉ^i＝ｅｘｐ（ｉ^2π／２）＝ｅｘｐ（−π／２）・・・実軸上の点

　ｉ^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^ｅｘｐ（−π／２）

=ｅｘｐ（ｉπ／２ｅｘｐ（−π／２）)

＝ｃｏｓ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝＋ｉｓｉｎ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝・・・単位円周上の点

　ｉ^i^i^i＝・・・

　ｉ^i^i^i^i＝・・・極限値はどのような1点に収束するのだろうか？

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ｉ^ω＝ω

この超越方程式は、

（-ｉπ／２・ω)exp（-ｉπ／２・ω)=-ｉπ／２

と書き直すことができて、ランベルトのW関数を用いて

ｉ^i^i^i^i・・・＝ｉ2/π・W(-ｉπ／２)=0.4382829367+0.3605924719i

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　ｉ^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^ｅｘｐ（−π／２）＝ｃｏｓ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝＋ｉｓｉｎ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝・・・単位円周上の点

において、r=1,ｔ＝π／２ｅｘｐ（−π／２）とおく.

　ｉ^i^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^(rcost+irsint)=exp{-π／２rsint+ｉπ／２rcost}

=exp{-π／２rsint}{cos(cos(π／２rcost))+isin(cos(π／２rcost))}

R=exp{-π／２rsint},T=cos(π／２rcost)とおく。

　ｉ^i^i^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^(RcosT+iRsinT)=exp{-π／２RsinT+ｉπ／２RcosT}

=exp{-π／２RsinT}{cos(cos(π／２RcosT))+isin(cos(π／２RcosT))}

調和散歩のようには表すことができない。

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　ｉ＝ｅｘｐ（ｉπ／２）=cos（π／２）+isin（π／２）

　ｉ^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^ｅｘｐ（ｉπ／２）

　ｉ^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^{cos（π／２）+isin（π／２）}

　ｉ^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２{cos（π／２）+isin（π／２）})

　ｉ^i＝ｅｘｐ（-π／２sin（π／２）+ｉπ／２{cos（π／２）})

　ｉ^i＝ｅｘｐ（-π／２sin（π／２）){cosπ／２{cos（π／２）}+ｉsin(π／２{cos（π／２）})}

　ｉ^i＝ｅｘｐ（−π／２）

　ｉ^i^i=ｅｘｐ（ｉπ／２）^ｅｘｐ（−π／２）＝ｅｘｐ（ｉπ／２ｅｘｐ（−π／２）)

＝ｃｏｓ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝＋ｉｓｉｎ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝

r=1,ｔ＝π／２ｅｘｐ（−π／２）とおく.

　ｉ^i^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^(rcost+irsint)=exp{-π／２rsint+ｉπ／２rcost}

=exp{-π／２rsint}{cos(cos(π／２rcost))+isin(cos(π／２rcost))}

R=exp{-π／２rsint},T=cos(π／２rcost)とおく。

　ｉ^i^i^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^(RcosT+iRsinT)=exp{-π／２RsinT+ｉπ／２RcosT}

=exp{-π／２RsinT}{cos(cos(π／２RcosT))+isin(cos(π／２RcosT))}

U=exp{-π／２Rsint},V=cos(π／２RcosT)とおく。

　ｉ^i^i^i^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^(UcosV+iUsinV)=exp{-π／２UsinV+ｉπ／２UcosV}

=exp{-π／２UsinV}{cos(cos(π／２UcosV))+isin(cos(π／２UcosV))}

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ここで、sin(sinx)を考える

sinx=Σ(-1)^n/(2n+1)!・x^2n+1

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・(sinx)^2n+1

また、

(sinx)^2n+1=Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

より、

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

を得る。

一般に、N重合成関数

|sin(sin(sin(・・・(sinx))))|<=2/log(N+1)

これはx>=1のとき、

sin(2/log(N+1))<=2/log(N+2)

より証明される。

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