√２^（√２^√２^√２^√２^√２^・・・）は２である

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関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）を考える．

ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・＝２のとき，無限個積み重なっているタワーからｘを1個取り除いたところで，最終的な結果にはまったく影響がない．このことからこの方程式を

ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝ｘ^2＝２

と書き変えることができて

　　ｘ＝√２

実際に計算してみると

　　√２＝１．１４１４２１３５６２・・・

　　√２^√２＝１．６３２５２６９１９・・・

　　√２^（√２^√２）＝１．７６０８９３５５５・・・

　　√２^（√２^√２^√２）＝１．８４０９１０８６９・・・

　　√２^（√２^√２^√２^√２）＝１．８９２７１２６９６・・・

　　√２^（√２^√２^√２^√２^√２）＝１．９２６９９９７０１・・・

→２

ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・＝mのとき，

ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝ｘ^m＝ｍ

と書き変えることができて

　　ｘ＝m^1/m　

［補題］関数ｙ＝ｘ^1/xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^1/x＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

　　（（ｌｏｇｘ）／ｘ）’＝（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

　　ｙ’＝ｙ（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2＝（１−ｌｏｇｘ＋１）ｘ^1/x-2

したがって，ｘ＝ｅのとき，最大値１．４４４６６４７８６１・・・をとる．

　ｇ（ｘ）＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

について

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

３^2＞２^3

こうして，関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示しています．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

f(1/e)=0.56714329・・・=Ω，　Ωはxexp(x)=1の解

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それに対して，関数ｆ（ｘ）＝ｘ^xはｘ≧０で定義されます．

［補題］関数ｙ＝ｘ^xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｙ’＝ｙ（ｌｏｇｘ＋１）＝（ｌｏｇｘ＋１）ｘ^x

したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．また，ｔ・ｌｏｇｔはｔ→０のとき０となるから，

　　ｘ^x→１　　（ｘ→０）

ｙ＝ｘ^x=eの解はx=exp(Ω)

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