オイラーの定理：

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

において，θ＝πを代入すると，ｅｘｐ（ｉπ）＝−１という有名な式が得られる．π，ｉ，ｅは数学の基本となる３つの数であるからだ．

　一方，ｉ^2＝−１であるから

　　ｅｘｐ（ｉπ）＝ｉ^2

両辺をθ／π乗すると

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ＝ｉ

　　θ＝π／４のとき，ｉ^(1/2)＝（１＋ｉ）／√２

　　θ＝π／６のとき，ｉ^(1/3)＝（√３＋ｉ）／２

ｉの実数乗は回転作用を表すことがわかる．

　さらに，両辺をｉ乗すると

　　ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^i＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ^i＝ｅｘｐ（−π／２）

普通の言葉に変換すると，ｉのｉ乗はｅのπ乗の平方根の逆数になる．

　　θ＝π／４のとき，ｉ^(i/2)＝ｅｘｐ（−π／４）

　　θ＝π／６のとき，ｉ^(i/3)＝ｅｘｐ（−π／６）

ｉの虚数乗は実数になることがわかるが，これは原点からの距離（ノルム）の増減作用を表していると考えられる．

　また，

　　ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ

　　ｅｘｐ（θ）＝ｉ^(-2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ−ｉｓｉｎｉθ

に，θ＝１を代入すると

　　１／ｅ＝ｃｏｓｉ＋ｉｓｉｎｉ

　　ｅ＝ｃｏｓｉ−ｉｓｉｎｉ

　　ｃｏｓｉ＝（ｅ＋１／ｅ）／２

　　ｓｉｎｉ＝（ｅ−１／ｅ）／２ｉ

となる．

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