無理数γを与えたとき，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝＝ｎγ−［ｎγ］のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布について何がいえるであろうか？

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【１】クロネッカー・ワイルの定理

　無理数の性質に関するワイルの一様分布定理とは，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝，ｎ^2γの非整数部分｛ｎ^2γ｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布についての定理で，

［１］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する

［２］γが無理数であれば｛ｎ^2γ｝は区間［０，１）で一様分布する

　部屋割り論法あるいは鳩の巣原理を用いて証明してみよう．

　　ｎγ＝［ｎγ］＋｛ｎγ｝

［１］γが有理数であれば｛ｎγ｝は有限個の相異なる値しかとらない

（証）γ＝ｐ／ｑならば，この数列の最初の第ｑ項までは

　　｛ｐ／ｑ｝，｛２ｐ／ｑ｝，・・・，｛（ｑ−１）ｐ／ｑ｝，｛ｑｐ／ｑ｝＝０

そして第ｑ＋１項は

　　｛（ｑ＋１）ｐ／ｑ｝＝｛１＋ｐ／ｑ｝＝｛ｐ／ｑ｝

以後，これの繰り返しとなる．

［２］γが無理数であれば｛ｎγ｝の値はすべて異なる

（証）｛ｎ1γ｝＝｛ｎ2γ｝と仮定する．このとき，（ｎ1−ｎ2）γは整数→γは有理数となり矛盾．

［３］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１］において稠密である（クロネッカーの稠密定理）

［４］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する（ワイルの一様分布定理）

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