アルキメデスは

［１］円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であること（単位球の体積は４π／３である）

［２］円柱とそれに内接する球の表面積が等しいこと（単位球面の面積は４πに等しい）

を発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．

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半球と同じ底面をもち、半径と同じ高さの円柱を考える。この円柱から円錐を取り去ってできるどんぶり型の立体と

半球を比較する。アルキメデスは、これらを同じ高さで切断するとそれぞれの断面は常に同じ面積をもつことに気づいた。

S1=π{(r^2-a^2)^1/2}^2・・・円の面積

S2=πr^2-πa^2・・・ドーナツ型の面積

したがって、半球とどんぶり型の立体は同じ体積をもつことになる(カヴァリエリの原理）。

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円錐の体積は円柱の体積の1/3であるから、半球は円柱の2/3の体積に等しい。

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