半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか−−−「まんじゅう等分問題」を解いてみよう．

　y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は

　　V[y]=π∫y^2dx

で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　V[y]=π∫(1-x^2)dx

したがって，

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3

が球全体の１／４になればよい．

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3

　　a^3-3a+1=0

　　a=0.3472963553=2cos10

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【１】球帽の面積

　球面上の２点ｘ，ｙに対して，θ＝∠ｘｏｙを球面距離という．また，球面上の円を球帽という．ここでは点Ｐからの球面距離がθ（０≦θ≦π）であるような球面上の点全体の集合を考えるが，球面半径θの球帽の面積をＣ（θ）で表すことにすると，

　　Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）

で与えられる．

　緯度をαとして，赤道と緯度αの間のベルトの面積をＢ（α）で表すことにすると，

　　Ｂ（α）＝２π（１−ｓｉｎα）

で与えられる．

（Ｑ）熱帯は緯度２３．５°の間の部分である．熱帯は地表の何％を占めるか？

（Ａ）ｓｉｎ２３．５°＝０．３９８７４（約４０％）

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【２】表面積の２等分

　次に，半球の表面積を２等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう．y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられるから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　S[y]=2π∫(0,a)dx=2πa=0.5/2･4π

より

　　a=0.5=sin30

と求められる．

　Ｂ（α）＝２π（１−ｓｉｎα）を用いると

　　Ｂ（α）＝２π（１−ｓｉｎα）＝π→α＝３０゜

　赤道と北緯３０゜線で挟まれる帯，北緯３０゜線と北緯６０゜線，北緯６０゜線より北の部分の面積比は１：√３−１：２−√３になる．

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