【３】球面距離の分布関数と確率密度関数

　Ｃ（θ）／（Ｓn-1の面積）＝Ｃ（θ）／ｎｖnはθの分布関数であるから，θで微分すると，球面距離θの確率密度関数が得られる．

(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ

　　θの分布関数：θ／π

　　θの確率密度関数：１／π

　　θの平均値：∫(0,π)θ／πｄθ＝π／２

(2)ｎ＝３のとき，Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）

　　θの分布関数：（１−ｃｏｓθ）／２

　　θの確率密度関数：ｓｉｎθ／２

　　θの平均値：∫(0,π)θｓｉｎθ／２ｄθ＝π／２

(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２

　　θの分布関数：（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２

　　θの確率密度関数：(ｓｉｎθ)^(n-2)／Β（1/2，(n-1)/2）

　　θの平均値：∫(0,π)θ(ｓｉｎθ)^(n-2)ｄθ／Β（1/2，(n-1)/2）＝π／２

［参］1/2Ｂ（ｐ，ｑ）＝∫(0,π/2)(sinθ)^(2p-1)(cosθ)^(2q-1)dθ

　　　∫(0,π/2)(sinθ)^(n-2)dθ＝1/2Ｂ((n-1)/2),1/2)　半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか−−−「まんじゅう等分問題」を解いてみよう．

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