【１】テオドロスのらせん（平方根の螺線）

　原点をＯ，点Ｐ1を（１，０）とします．点Ｐ1において長さ１の垂線Ｐ1Ｐ2⊥ＯＰ1を立て点Ｐ2（１，１）とします．すると，ＯＰ2＝√２となります．さらに点Ｐ2において長さ１の垂線Ｐ2Ｐ3⊥ＯＰ2を立てます．ＯＰ3＝√３となります．これを繰り返せば，１，√２，√３，・・・，√（ｎ−１），√ｎが得られ，点Ｐ1，Ｐ2，・・・は螺線のような図形を作る．

［Ｑ］動径ベクトルＯＰkの長さは√ｋになりますが，その偏角がπ，２πを越すときのｋの値は？

［Ａ］平方根の螺線はピタゴラスの定理に基づく有名な図形です．

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（１／√（ｋ−１））

としてΣθを求めると，

　　π→　ｋ＝７

　　２π→ｋ＝１８

　すなわち，最後の三角形の斜辺は√１７となり，その後は図が重なってしまう．このとき，Σθ＝３５１．１５０となる（√１８ではΣθ＝３６４．７８３）．

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　テオドロスは√３，√５，√６，√７，√８，√１０，√１１，√１２，√１３，√１４，√１５，√１７の整数の平方でない数の平方根がすべて無理数であることを明らかにし，そこで止めた．

　√１７で止めた理由については（疲れはててしまったのかもしれないが），その後は図が重なってしまい，それ以上は実証できなかったためともいわれている．

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