1837年、ヴァンツェルは立方体の体積を2倍にする辺を定規とコンパスで作図することはできないことも証明した。

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立方体の倍積問題に取り組む前に、正方形の倍積問題すなわち2倍の面積をもつもう一つの正方形を作る問題を考える。

1辺の長さを2倍にすると面積は４倍になる。そこで対角線を第2の正方形にすると面積は2倍になる。

これができれば、直角三角形の斜辺を使って、正方形の3倍積、４倍積、・・・、多倍積問題は解決できることになる。

立方体の倍積問題の場合、1辺の長さを2倍にすると面積は８倍になる。そこで面対角線を第2の立方体にすると体積は２倍になる。

主対角線を第2の立方体にすると体積は３倍になる。結局、この問題は解決に至らなかったというわけである。

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1882年、リンデマンは円の正方形化問題のも解がないことを証明した。

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ひとつの多角形を分解して、等しい面積をもつ正方形に組み立てなおすことはできるのに・・・（ファルカシュ・ボヤイの定理）

なお、5種類の月形だけが正方形化できることが証明されている。

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