同じ円に内接する正三角形と正方形から正12角形を作図することができる。

同じ円に内接する正三角形と正五角形から正15角形を作図することができる。

そのとき、ラングレーの問題に似た図形ができる。

しかし、同じ円に内接する正三角形と正六角形から正18角形を作図することはできない。

ラングレーの問題の図形は定規とコンパスで作図不可能なのである。

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もし、正18角形が作図できるとしたらその頂点を1つおきにと取った正９角形も作図できるはずである。

1837年、ヴァンツェルは正7角形や正9角形は作図できないことを証明した。

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1837年、ヴァンツェルは立方体の体積を2倍にする辺を定規とコンパスで作図することはできないことも証明した。

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