同じ円に内接する正三角形と正方形から正12角形を作図することができる。

同じ円に内接する正三角形と正五角形から正15角形を作図することができる。

そのとき、ラングレーの問題に似た図形ができる。

しかし、同じ円に内接する正三角形と正六角形から正18角形を作図することはできない。

ラングレーの問題の図形は定規とコンパスで作図不可能なのである。

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もし、正18角形が作図できるとしたらその頂点を1つおきにと取った正９角形も作図できるはずである。

1837年、ヴァンツェルは正7角形や正9角形は作図できないことを証明した。

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