ｎ尖点ハイポサイクロイド

x=(n-1)rcosθ+rcos(n-1)θ

y=(n-1)rsinθ-rsin(n-1)θ

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dx/dθ=-(n-1)rsinθ-(n-1)rsin(n-1)θ

dy/dθ=(n-1)rcosθ-(n-1)rcos(n-1)θ

dy/dx=-{cosθ-cos(n-1)θ}/{sinθ+sin(n-1)θ}

=2sin(n/2θ)sin(2-n)/2θ/2sin(n/2θ)cos(2-n)/2θ

=tan(2-n)/2θ

ｎ＝4のとき、dy/dx=-tanθ

n＝3のとき、dy/dx=-tan（θ/2）

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したがって、

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

は，ｎ＝４のとき，デルトイド

x=2acos(4θ)+4acos(2θ)

y=-2asin(4θ)+4asin(2θ)

の平行曲線，

ｎ＝３のとき，アステロイド

x=acos(3θ)+3acos(θ)

y=-asin(3θ)+3asin(θ)

の平行曲線になっている．

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