ｆ（ａｘ）＝ａ^nｆ（ｘ）を満たすとき，重みｎの「形式」と呼ばれる．たとえば，

　　ｘ^2＋３ｙ^2＋７ｚ^2は重み２の三元２次形式

　　ｘ^3＋ｘ^2ｙ＋ｙ^3は重み３の二元３次形式

というが，ここでは重みｋの保型形式

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

をみてみよう．

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［２］保型形式

　ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　γ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝１

は上半平面上の関数である．

　　Ｔ＝［１，１］，Ｔ（ｚ）＝ｚ＋１　　（平行移動）

　　　　［０，１］

　　Ｓ＝［０，　１］，Ｓ（ｚ）＝−１／ｚ　　（反転）

　　　　［−１，０］

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

を重みｋの保型形式という．

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

を満たす．

　また，ｆ（ｚ）のｑ展開において，負の指数がないとき，モジュラー形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

ａ0＝０であるとき，カスプ形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

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