Φ(x)=Π(1-x^k)と記すことにすると,

[1]分割関数は

1/Φ(x)=Π1/(1-x^k)＝Σp(n)x^n

[2]オイラーの五角数定理は

Φ(x)=Π(1-x^k)=Σ(-1)^nx^{n(3n-1)/2}=1+Σ(-1)^n{x^n(3n-1)/2+x^{n(3n-1)/2+n}}

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Φ(x)=Π(1-x^k)＝Σa(n)x^n

と記すことにすると

{Σa(n)x^n}{Σp(n)x^n=1=1+0x+0x^2+・・・

p(n)+a(1)p(n-1)+・・・+a(n-1)p(1)+a(n)p(0)=0より、

p(n)=Σ-a(k)p(n-k)

また、約数の和関数σ(n)は

σ(n)＝Σ-ka(k)p(n-k)

で表すことができる

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