正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線を用いてドリルを設計しました．包絡線の方程式は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

で表されます．

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【１】接線極座標

　卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

接線方向の単位ベクトル　　：　ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

それと直交する単位ベクトル：　ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

となります．

　また，接線の方程式は

　　ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）

　　（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．

　すなわち，曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．

しかし、この包絡線の接線極座標上の方程式は簡単な形で表すことはできません。しかし、ｘ軸に関する対称点

(x,-y)を考え、(x0,-y0)からこの接線までの距離を求めると,

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

とおいて

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ

に代入すると，

　　｜2（ｎ-1）ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−2Ｒ｜

で与えられます．

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