ｘ軸に平行な直線（ｘ=β、ｙ＝R）を（ｎ−２）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆方向にとると，

　　［Ｘ］＝［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−２）θ

　　［Ｙ］＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−２）θ

　その運動族

　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝-βｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｘ／∂β）（∂ｙ／∂θ）＝０

を計算すると・・・

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∂ｘ／∂β＝ｃｏｓ（θ）

∂ｙ／∂θ＝-βcosθ-Ｒｓｉｎ（θ）＋(n-2)ａcos（（ｎ−２）θ）

∂y／∂β＝-sin（θ）

∂x／∂θ＝-βsinθ+Ｒcos（θ）-(n-2)ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

β=(n-2)acos(n-1)θ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝-βｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に代入すると

　　ｘ＝(n-2)accos(n-1)θｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝-(n-2)accos(n-1)θｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

ｘ＝(n-2)a/2{cosnθ+ｃｏｓ(n-2)θ）}+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

ｙ＝-(n-2)a/2{sin(nθ)-ｓｉｎ(n-2)θ}+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

２倍して整理すると

ｘ＝(n-2)a{cosnθ+ｃｏｓ(n-2)θ）}+2Ｒsin（θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

ｙ＝-(n-2)a{sin(nθ)-ｓｉｎ(n-2)θ}+2Ｒcos（θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ+2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ+2Rcosθ

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