【２】分割関数の明示公式

　分割数を求めるには，五角数を利用したオイラーの方法があります．

　　p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)+･･･=0^n

ただし，ｎ＝０のとき0^n=1，ｎが正のときは0^n=0とします．符号は２つずつ組になって反転していますが，それにしても不思議な公式です．

　また，分割数は，以下の公式によって代数的に定義することもできます．

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)=Σp(n)x^n

　f(x)は分割関数p(n)の母関数ですが，オイラーの五角数定理

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))

により

　　x^(1/24)/f(x)=Σ(-1)^nx^((6n-1)^2/24)

したがって，左辺はデデキントのイータ関数の定義そのもの，また，右辺は確かにテータ級数（ベキが平方数であるような交代級数）であることがわかります．なお，三角関数に対応する楕円関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数と呼ばれるのに対して，指数関数に対応するのがヤコビのテータ関数で，ヤコビはテータ関数：

　　θ3(z)=１＋２Σq^(n^2)cos(2nπ)

などを使って，楕円関数を表すことにも成功しています．

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