完全数の問題は約数の和の問題であったが、ここでは約数の個数の問題を扱ってみたい。

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１から２０までの整数Nの約数とその個数を調べる簡単な数値実験から始めることにしましょう．

N、約数、約数の個数

１，｛１｝、１

２，｛１，２｝、２

３，（１，３｝、２

４，｛１，２，４｝、３

５．｛１，５｝、２

６，｛１，２，３，６｝、４

７．｛１，７｝、２

８．｛１，２，４，６｝、４

９．｛１，３，９｝、３

１０．｛１，２，５，１０｝、４

１１．｛１，１１｝、２

１２．（１，２，３，４，６，１２｝、６

１３．｛１，１３｝、２

１４，｛１，２，７，１４｝、４

１５．｛１，３，５，１５｝、４

１６．｛１，２，４，８，１６｝、５

１７，｛１、１７｝、２

１８、｛１，２，３，６，９，１８｝、６

１９，｛１，１９｝、２

２０．｛１，２，４，５，１０、２０｝、６

このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

約数の個数が奇数であるための必要十分条件はNが平方数であることである。

これが成り立つ理由は、平方数では

１×１＝１

２×２＝４

３×３＝９

４×４＝１６

が生じるため約数が奇数個となるためである。

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