メルセンヌ素数に関する予想は，メルセンヌ素数以上にある．そして、大きなメルセンヌ素数を発見することによって，その分布についての新しい予想が打ち立てられる

メルセンヌ素数に対するWagstaff予想とは、

[1]x以下のメルセンヌ素数の個数は

　　およそexp(γ)/log2・loglogxである。

[2]xと2xの間にあるメルセンヌの素数2^p-1の期待値はおよそγである。

[参]　杉岡幹生・武捨貴和「初等数学によるゼータ関数の探求」

しかし、命題

[2]xと2xの間にあるメルセンヌの素数2^p-1の期待値はおよそγである。

の命題に問題がありそうである。

[2]xと2xの間にあるメルセンヌの素数ｐの期待値はおよそｅｘｐγ=1.78・・・である。

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ｅｘｐγはメルテンスの定理から得られる。

　φ（ｎ）がオイラーのファイ関数あるいはトーシェント関数と呼ばれ，公式

　　φ（ｎ）＝ｎΠ（１−１／ｐ）

で計算できる．

　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　φ（２６）＝２６（１−１／２）（１−１／１３）＝１２

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　γをオイラーの定数とする．

　　γ＝ｌｉｍ（１／ｋ−ｌｏｇｎ）＝０．５７７・・・

　　−ｌｏｇγ＝０．５４９・・・

　　ｅｘｐ（γ）＝１．７８１・・・

［メルテンスの定理］

　ｐ≦ｘについて，ｘ→∞のとき

　　ｅｘｐ（−γ）＝ｌｉｍ（ｌｏｇｘΠ（１−１／ｐ））＝０．５６１・・・

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