メルセンヌ素数に関する予想は，メルセンヌ素数以上にある．そして、大きなメルセンヌ素数を発見することによって，その分布についての新しい予想が打ち立てられる

メルセンヌ素数に対するWagstaff予想とは、

[1]x以下のメルセンヌ素数の個数は

　　およそexp(γ)/log2・loglogxである。

[2]xと2xの間にあるメルセンヌの素数2^p-1の期待値はおよそγである。

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[参]　杉岡幹生・武捨貴和「初等数学によるゼータ関数の探求」

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　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜２ｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎ２）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（２ｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２）

　〜（ｘｌｎｘ−ｘｌｎ２））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜（ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

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exp(γ)/log2・log(log2x)-exp(γ)/log2・log(logx)

=exp(γ)/log2・log(log2x/logx)

この後をどうするか？

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