ｘ軸に平行な直線（ｘ=β、ｙ＝R）をｎ公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆同方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ(ｎθ)

　　［Ｙ］＝［-ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ(ｎθ)

　その運動族

　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝-βｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｘ／∂β）（∂ｙ／∂θ）＝０

を計算すると・・・

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∂ｘ／∂β＝ｃｏｓ（θ）

∂ｙ／∂θ＝-βcosθ-Ｒｓｉｎ（θ）＋nａcos（ｎθ）

∂y／∂β＝-sin（θ）

∂x／∂θ＝-βsinθ+Ｒcos（θ）-nａｓｉｎ（ｎθ）

β=(na)cos(n+1)θ

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　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝-βｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

に代入すると

　　ｘ＝(na)cos(n+1)θｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝-(na)cos(n+1)θｓｉｎ（θ）+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

ｘ＝(na)/2{cos（n+2）θ+ｃｏｓnθ）}+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

ｙ＝-(na)/2{sin(n+2）θ-ｓｉｎnθ}+Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

２倍して整理すると

ｘ＝(na){cos(n+2）θ+ｃｏｓnθ）}+2Ｒsin（θ）＋2ａｃｏｓ（ｎθ）

ｙ＝-(na){sin(n+2）θ-ｓｉｎnθ}+2Ｒcos（θ）＋2ａｓｉｎ（ｎθ）

x=(na）cos(n+2）θ+(n+2)acosnθ+2Rsinθ

y=-(n)asin(n+2）θ+（n+2）asinnθ+2Rcosθ

これはどのような曲線になるのか？

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