ｘ軸に平行な直線（ｘ=β、ｙ＝-R）をｎ公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓθ，-ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ(ｎθ)

　　［Ｙ］＝［ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ(ｎθ)

　その運動族

　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝βｓｉｎ（θ）-Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｘ／∂β）（∂ｙ／∂θ）＝０

を計算すると・・・

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∂ｘ／∂β＝ｃｏｓ（θ）

∂ｙ／∂θ＝βcosθ+Ｒｓｉｎ（θ）＋nａcos（ｎθ）

∂y／∂β＝sin（θ）

∂x／∂θ＝-βsinθ+Ｒcos（θ）-nａｓｉｎ（ｎθ）

β=-(na)cos(n-1)θ

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　　ｘ＝βｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝βｓｉｎ（θ）-Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

に代入すると

　　ｘ＝-(na)cos(n-1)θｃｏｓ（θ）+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

　　ｙ＝-(na)cos(n-1)θｓｉｎ（θ）-Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

ｘ＝-(na)/2{cosnθ+ｃｏｓ(n-2)θ）}+Ｒsin（θ）＋ａｃｏｓ（ｎθ）

ｙ＝-(na)/2{sin(nθ)-ｓｉｎ(n-2)θ}-Ｒcos（θ）＋ａｓｉｎ（ｎθ）

２倍して整理すると

ｘ＝-(na){cos(nθ)+ｃｏｓ(n-2)θ）}+2Ｒsin（θ）＋2ａｃｏｓ（ｎθ）

ｙ＝-(na){sin(nθ)-ｓｉｎ(n-2)θ}-2Ｒcos（θ）＋2ａｓｉｎ（ｎθ）

x=-(n-2)acos(nθ)-nacos(n-2)θ+2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

これはどのような曲線になるのか？

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