【１】フルヴィッツ曲線の回転

　フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

　この曲線を（ｎ−1）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同じ方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓθ，-ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−1）θ

　　［Ｙ］＝［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−1）θ

　フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

で表される

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

（∂ｙ／∂β）=-ｎ(n-2)acos（nβ-θ）＋n(n-2)ａcos（（ｎ−2）β+θ）+2Rsin(β-θ）

（∂ｘ／∂θ）=(n-2)asin（nβ-θ）-nａsin（（ｎ−2）β+θ）+2Rcos(β-θ）-(n-1)ａsin（（ｎ−1）θ）

（∂x／∂β）=-n(n-2)asin（nβ-θ）-n(n-2)ａsin（（ｎ−2）β+θ）−2Rcos(β-θ）

（∂y／∂θ）=(n-2)acos（nβ-θ）+nａcos（（ｎ−2）β+θ）-2Rsin(β-θ）＋(n-1)ａcos（（ｎ−1）θ）

R＝n(n-2)aとおかないで計算を続ける。

2a^2n(n-1)(n-2)sin((2n-2)β)+4Ra(n-1)cos(n-1)β

｛a^2n(n-1)(n-2)sin(nβ)+a^2n(n-1)(n-2)sin(n-2)β+2Ra(n-1)cosβ｝cos(n-2)θ)

{a^2n(n-1)(n-2)cos(nβ)-an(n-1)(n-2)cos(n-2)β-2Ra(n-1)sinβ}sin(n-2)θ)=0

2an(n-2)sin((2n-2)β)+4Rcos(n-1)β

｛an(n-2)sin(nβ)+an(n-2)sin(n-2)β+2Rcosβ｝cos(n-2)θ

{an(n-2)cos(nβ)-an(n-2)cos(n-2)β-2Rsinβ}sin(n-2)θ)=0

R＝n(n-2)aのとき

2sin((2n-2)β)+4cos(n-1)β

｛sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ｝cos(n-2)θ

{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(n-2)θ)=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝