球面正弦定理は

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｃ／Ｒ）

R=1とすると

ｓｉｎ（ａ）／ｓｉｎα=ｓｉｎ（ｂ）／ｓｉｎβ=ｓｉｎ（ｃ）／ｓｉｎγ

　球面余弦定理は，

　　cos(c)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)cosγ

γ=π/2のときは　cos(c)=cos(a)cos(b)

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三角形αβγが小さいとき、

ｓｉｎ（ａ）〜a

ｓｉｎ（ｂ）〜b

ｓｉｎ（ｃ）〜c

cos（ａ）〜1-a^2/2

cos（ｂ）〜1-b^2/2

cos（ｃ）〜1-c^2/2

より、球面正弦定理→平面正弦定理 球面余弦定理→平面余弦定理

で表される．

1-c^2/2=(1-a^2/2)(1-b^2/2)+abcosγ

1-c^2/2=1-a^2/2-b^2/2+a^2b^2/4+abcosγ

ここで、a^2b^2は無視することができて

c^2=a^2+b^2-2abcosγ　　（平面余弦定理）

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　それに対して，双曲的三角法では，球面正弦定理のＲをｉＲに置き換えることによって，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）

が得られる．

R=1とすると

ｓｉｎｈ（ａ）／ｓｉｎα=ｓｉｎｈ（ｂ）／ｓｉｎβ=ｓｉｎｈ（ｃ）／ｓｉｎγ

　双曲余弦定理は，

　　cosh(c)=cosh(a)cosh(b)-sinh(a)sinh(b)cosγ

γ=π/2のときは　cosh(c)=cosh(a)cosh(b)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

三角形αβγが小さいとき、

ｓｉｎｈ（ａ）〜a

ｓｉｎｈ（ｂ）〜b

ｓｉｎｈ（ｃ）〜c

cosh（ａ）〜1+a^2/2

cosh（ｂ）〜1+b^2/2

cosh（ｃ）〜1+c^2/2

より、双曲正弦定理→平面正弦定理 双曲余弦定理→平面余弦定理

で表される．

1+c^2/2=(1+a^2/2)(1+b^2/2)-abcosγ

1+c^2/2=1+a^2/2+b^2/2+a^2b^2/4+abcosγ

ここで、a^2b^2は無視することができて

c^2=a^2+b^2-2abcosγ　　（平面余弦定理）

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