【１】ガンマ関数と超球との関係

　ガウス積分をｎ次元に拡張し，

　　I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると

　　∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π

のｎ重積分より，直ちに

　　I=π^(n/2)

を得ることができます．

　n次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．

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　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^n-1ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^n-1dr

=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

したがって，Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)　　　ｒn=

を得ることができます．

　この結果は，形式的にＶn=π^(n/2)/(n/2)！と書くことができます． Γ(m+1)=m!

これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積はＶnｒn=(πr2)^(n/2)/Γ(n/2+1)となります．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

ｎ　　　　　　Ｖn　　

１次元　　　　２

２次元　　　　３．１４

３次元　　　　４．１９

４次元　　　　４．９３

５次元　　　　５．２６３

６次元　　　　５．１６７

７次元　　　　４．７２

８次元　　　　４．０６

９次元　　　　３．３０

１０次元　　　２．５５

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

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