２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，

　　１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれます．

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［１］１，２，５，１３，３４，８９，２３３，６１０，１５９７，・・・はフィボナッチ数のひとつ置きの数列になっている．項比は

　　φ^2＝（３＋√５）／２

に近づく．

［２］２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，１３２５，・・・は２乗和で表される数列である．

　　２＝１^2＋１^2

　　５＝１^2＋２^2

　１３＝２^2＋３^2

　２９＝２^2＋５^2

　３４＝３^2＋５^2

　８９＝５^2＋８^2

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｛ｇn｝＝１，３，８，２１，５５，１４４，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n−（−１／φ）^2n｝＝Ｆ2n

であったが，

［１］初項ｇ1＝Ｆ1＝１，ｇ2＝Ｆ3＝２，ｇ3＝Ｆ5＝５，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n-1−（−１／φ）^2n-1｝＝Ｆ2n-1

検してみたい．

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【１】類フィボナッチ数列

　　ａn+1＝３ａn−ａn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−３ｘ＋１＝０の根（３±√５）／２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝（３＋√５）／２，β＝（３−√５）／２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

（ａ2−βａ1）＝２−（３−√５）／２＝（１＋√５）／２＝α^1/2

（ａ2−αａ1）＝２−（３＋√５）／２＝（１−√５）／２＝β^1/2

α−β＝√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（３＋√５）／２｝^n-1/2−｛（３−√５）／２｝^n-1/2｝

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^2n-1−｛（１−√５）／２｝^2n-1｝＝Ｆ2n-1

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