｛ｇn｝＝１，３，８，２１，５５，１４４，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n－（－１／φ）^2n｝＝Ｆ2n

であったが，最後に

［２］初項ｇ1＝Ｆ3＝２，ｇ2＝Ｆ5＝５，ｇ3＝Ｆ7＝１３，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n+1－（－１／φ）^2n+1｝＝Ｆ2n+1

検してみたい．

　　φ^-3＝２φ－３＝－２＋√５

　　φ^3＝２φ＋１＝２＋√５

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【１】類フィボナッチ数列

　　ａn+1＝３ａn－ａn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2－３ｘ＋１＝０の根（３±√５）／２として，

　　ａn+1－αａn＝β（ａn－αａn-1）＝β^2（ａn-1－αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2－αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1－βａn＝α^(n-1)（ａ2－βａ1）

　　ａn+1－αａn＝β^(n-1)（ａ2－αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2－βａ1）－β^(n-1)（ａ2－αａ1）｝／（α－β）

α＝（３＋√５）／２，β＝（３－√５）／２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

（ａ2－βａ1）＝５－（３－√５）＝２＋√５＝α^3/2

（ａ2－αａ1）＝５－（３＋√５）＝２－√５＝β^3/2

α－β＝√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（３＋√５）／２｝^n+1/2－｛（３－√５）／２｝^n+1/2｝

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^2n+1－｛（１－√５）／２｝^2n+1｝＝Ｆ2n+1

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