｛ｇn｝＝１，３，８，２１，５５，１４４，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n−（−１／φ）^2n｝＝Ｆ2n

であったが，

［１］初項ｇ1＝Ｆ1＝１，ｇ2＝Ｆ3＝２，ｇ3＝Ｆ5＝５，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n-1−（−１／φ）^2n-1｝＝Ｆ2n-1

［２］初項ｇ1＝Ｆ3＝２，ｇ2＝Ｆ5＝５，ｇ3＝Ｆ7＝１３，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n+1−（−１／φ）^2n+1｝＝Ｆ2n+1

［３］初項ｇ1＝Ｆ4＝３，ｇ2＝Ｆ6＝８，ｇ3＝Ｆ8＝２１，・・・

　　ｇn＝１／√５｛φ^2n+2−（−１／φ）^2n+2｝＝Ｆ2n+2

と思われる．［３］について検してみたい．

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【１】類フィボナッチ数列

　　ａn+1＝３ａn−ａn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−３ｘ＋１＝０の根（３±√５）／２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝（３＋√５）／２，β＝（３−√５）／２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

（ａ2−βａ1）＝８−３・（３−√５）／２＝（７＋３√５）／２＝α^2

（ａ2−αａ1）＝８−３・（３＋√５）／２＝（７−３√５）／２＝β^2

α−β＝√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（３＋√５）／２｝^n+1−｛（３−√５）／２｝^n+1｝

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^2n+2−｛（１−√５）／２｝^2n+2｝＝Ｆ2n+2

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