ある曲線に対して，その曲線上の各点より法線方向へ一定の距離にある曲線を「平行曲線」といいます．平行曲線とは鉄道の線路のようなものと考えてもらって差し支えないのですが，直線の場合，それは平行線であり，円の場合は同心円になります．直線と円は曲率が一定の平面曲線で，曲率一定の平面曲線は直線と円に限られます．

　さて今度は，直線と円の平行曲線は平面をもれなく覆いつくし，しかも重複なくただ一回だけ覆うという点に注目してみましょう．たとえば，サインカーブの場合も平行曲線とは法線方向に等間隔でずらしたものですが，一定方向にずらしたわけではないので，距離が大きくなると，やがて平行曲線がとんがってしまうところ（特異点）が現れてしまいます．そうなると，平面をただ一回だけ覆いつくすことはできません．

　ある曲線の平行曲線が平面をただ一回だけ覆いつくすには，曲率一定の直線と円のみがこの性質を満たしているというわけです．

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