回転の向きを変えてみる

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））???

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∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ+θ）＋ａ（ｎ−１）cos（（ｎ−１）β+θ）

∂ｘ／∂θ＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-ａsin（（ｎ−１）β+θ）-ａ（ｎ−２）sin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-ａ（ｎ−１）sin（（ｎ−１）β+θ）

∂y／∂θ＝Ｒcos（β＋γ+θ）+ａcos（（ｎ−１）β−θ）＋ａ（ｎ−２）cos（（ｎ−２）θ）

Ra(n-2)sin((n-2)β-γ)+Ra(n-2)sin(β＋γ−(n-1)θ）+ａ^2(n-1)(n-2)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=0

-Rsin(β＋γ−(n-1)θ）-ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

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-Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ-(n-2)β＋γ）-ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

-Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)cos((n-2)β-γ）+Rcos(（ｎ−１）β−(n-1)θ)sin((n-2)β-γ）-ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

-sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}+cos(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rsin((n-2)β-γ）}=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}

B={Rsin((n-2)β-γ）}

C={Rsin((n-2)β-γ）}=B

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　　-Ａsin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）+Ｂcos（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　sin（ψ-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

より

　　-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ+ψ=ψ???

　　（ｎ−１）θ=（ｎ−１）β−2ψ

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

これで，φをβ，θ（β）の関数として表すことができ，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となるというわけです．

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　　sin（ψ-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

は

２cos（2ψ-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）/2・sin（-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）/2＝0

とすべきであって、

（2ψ-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）/2＝π/2，3π/2、5π/2，・・・

（-（ｎ−１）β+（ｎ−１）θ）/2＝0，π、2π、3π、・・・

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