フルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は，

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｒ≧｛（ｎ−１）^2−１｝ａ

と書くことができます．

　フルヴィッツ・藤原曲線の平行曲線もまた内転形となるのですが，同じ凸ｎ角形のすべての内転形の周長は等しいことより，正ｎ角形の内接円の半径をｒとして，中心軌道の軌道半径を

　　ａ＝ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

で定めれば面積最小のフルヴィッツ・藤原曲線が求められます．

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【１】フルヴィッツ・藤原曲線の一般式

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

はｓｉｎがｃｏｓであっても本質的な違いはありません．

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　複素数

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を使えば直ちにそのことがわかるのですが，要はω＝２π／ｎとおいて，

　　Σ(k=0~n-1)ｐ（θ＋ｋω）＝ｎｒ（一定）

であれば正ｎ角形の内転形であるための条件を満たすので，フルヴィッツ・藤原曲線は正ｎ角形の内転形であるというわけです．

　このことから，フルヴィッツ・藤原曲線の一般式は，

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ｛（ｎ−１）θ｝＋ｂ1ｓｉｎ｛（ｎ−１）θ｝　　　（ｎ≧３）

と書くことができます．

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曲線の長さをｓ，接線がｘ軸となす角をθとすると，ｆ（ｓ，θ）＝０あるいはρ＝ｆ（ｓ）なる方程式が与えられれば曲線の形が決定されます．

　　１／ρ＝ｄθ／ｄｓ，ｄｘ／ｄｓ＝ｃｏｓθ，ｄｙ／ｄｓ＝ｓｉｎθ

　ルーローの三角形のような区分毎に接続された卵形線の接線極座標における方程式ｐ（θ）で表す場合であっても，各部分の継ぎ目でθは連続でジャンプしません．その意味でθは弧長パラメータｓと同じと考えることができます．

　　θ＝θ（ｓ）

　もし，ｐ（θ）をフーリエ級数に展開し

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋Σ（ａkｃｏｓｋθ＋ｂkｓｉｎｋθ）

とすると，その面積はパーセヴァルの定理より

　　１／２∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ＝１／２｛ａ0^2π＋Σ（ａk^2＋ｂk^2）（１−ｋ^2）π｝

になります．

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