【２】内転形であるための条件

　この式でｎ＝３とおくと，

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ−Ｒ

となりますが，コラム「アステロイドの平行曲線」で述べた

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ

と（係数の違いを除いて）一致します．このことから，正三角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．実際，ω＝２π／３とおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝−３Ｒ（一定）

　ｎ＝４とすると

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−２Ｒ（一定）

ですから定幅曲線であり，したがって正方形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．一般にｎが偶数のときも

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−２Ｒ（一定）

が成り立ちます．

　ｎ＝５の場合，ω＝２π／５とおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＋ｐ（θ＋３ω）＋ｐ（θ＋４ω）＝（一定）

であれば内転形であるための条件を満たしますが，実際に

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＋ｐ（θ＋３ω）＋ｐ（θ＋４ω）＝−５Ｒ（一定）

となります．

　同様に，任意の奇数ｎに対しても内転形であることが証明されます．ここでは証明は省きますが，複素数を使って証明するのが一番の近道です．正弦・余弦の和公式・積公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史があるのですが，正弦の和公式ではかえって証明が難しくなります．

　また，その曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝−｛（ｎ−１）^2−１｝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ≧０

より，

　　ａ≦Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

に対し，包絡線は特異点をもたずに正ｎ角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．

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　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

は厳密解というわけです．なお，この図形はａ→０とすることによって，次第に円に近づきます．

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