正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線を用いてドリルを設計しました．包絡線の方程式は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

で表されます．

　これはツバメの尾のような特異点をもつ曲線ですが，今回のコラムではこれが実際に正内転形（正ｎ角形の各辺に接しながらその中で１回転できる卵形線）であるかどうかを厳密に検討してみることにします．

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【１】接線極座標

　卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

接線方向の単位ベクトル　　：　ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

それと直交する単位ベクトル：　ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

となります．

　また，接線の方程式は

　　ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）

　　（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．

　すなわち，曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．

　計算の都合上，包絡線の方程式を

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

とおいて

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

で与えられます．

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