正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

と整理し，

　　ｖ＝（ｖx，ｖy）＝（（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ，ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）

　　ｅr＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ｅθ＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

すなわち，ｅrはｒ方向の単位ベクトル，ｅθはそれと直交する単位ベクトルとすると

　　（ｘ，ｙ）＝ｖxｅr＋ｖyｅθ

となって，包絡線の性質について大ざっぱにいえば楕円

　　ｘ^2／（（ｎ−１）ａ）^2＋（ｙ＋Ｒ）^2／ａ^2＝１

を回転させたものと考えることができます．

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縮閉線は与えられた曲線の法線からなる直線族の包絡線（エンベロプ）を求めることにより得られるのですが，

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

が厳密解です．

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