公転と自転の向きを逆方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n

cos（ｍθ+β）-cos(n-1)β＝0

sin（ｍθ+ｎβ）/2sin（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+ｎβ）/2=0,π、2π、3π、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=0,π、2π、3π、・・・

m=n=4

　　ｘ＝2ｃｏｓ（4β+θ）＋4ｃｏｓ（2β-θ）−16ｓｉｎ(β+θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（4β+θ）＋4ｓｉｎ（2β-θ）−16ｃｏｓ(β+θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

ｍθ+ｎβ=0,θ=-βを代入すると

　　ｘ＝2ｃｏｓ（3β）＋4ｃｏｓ（3β）＋2ｃｏｓ（3β）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（3β）＋4ｓｉｎ（3β）−16-2ｓｉｎ（3β）=-16 (直線)

（ｍθ-(n-2)β）/2=0、β=2θを代入すると

　　ｘ＝2ｃｏｓ（9θ）＋4ｃｏｓ（3θ）−16ｓｉｎ(3θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（9θ）＋4ｓｉｎ（3θ）−16ｃｏｓ(3θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

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公転と自転の向きを同じ方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n-2

cos（ｍθ+β）+cos(n-1)β＝0

cos（ｍθ+ｎβ）/2cos（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+ｎβ）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

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辺縁は円だろうか？

m=2,n=4

（ｍθ+ｎβ）/2=3π/2

（2θ+4β）=3π

θ=3π/2-2β

　　ｘ＝2ｃｏｓ（4β-θ）＋4ｃｏｓ（2β+θ）−16ｓｉｎ(β-θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（4β-θ）＋4ｓｉｎ（2β+θ）−16ｃｏｓ(β-θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

　　ｘ＝2ｃｏｓ（6β-3π/2）＋4ｃｏｓ（3π/2）−16ｓｉｎ(3β-3π/2）＋2ｃｏｓ（9π/2-6β）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（6β-3π/2）＋4ｓｉｎ（3π/2）−16ｃｏｓ(3β-3π/2）＋2ｓｉｎ（9π/2-6β）

　　ｘ＝-2sin(6β）+16cos(3β）+2sin(6β）

　　ｙ＝-2cos（6β）-4+16sin(3β）+2cos（6β）

　　ｘ＝+16cos(3β）

　　ｙ＝-4−16sin(3β）

ｘ＾2+（ｙ+4）＾2＝16^2

これは円である。

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辺縁は直線だろうか？

m=2,n=4

（ｍθ-(n-2)β）/2=3π/2

（2θ-2β）=3π

θ=3π/2+β

　　ｘ＝2ｃｏｓ（4β-θ）＋4ｃｏｓ（2β+θ）−16ｓｉｎ(β-θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（4β-θ）＋4ｓｉｎ（2β+θ）−16ｃｏｓ(β-θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

　　ｘ＝2ｃｏｓ（3β-3π/2）＋4ｃｏｓ（3β+3π/2）−16ｓｉｎ(-3π/2）＋2ｃｏｓ（9π/2+3β）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（3β-3π/2）＋4ｓｉｎ（3β+3π/2）−16ｃｏｓ(-3π/2）＋2ｓｉｎ（9π/2+3β）

　　ｘ＝-2sin(3β）+4sin（3β)+16-2sin(3β）

　　ｙ＝-2cos（3β）-4cos（3β)+2cos（3β）

　　ｘ＝16

　　ｙ＝-4cos(3β）

これは直線である。

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これで2つの円を半径の半分だけずらしたものであることが確かめられた。

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中心円は半径2であるから、円の半径16，直線部分8，中心円の直径4とすべて整数になることがわかるだろう。

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