ところで，弦の振動や波を三角関数の級数で解くならまだしもわかりますが，熱伝導を三角級数で解くという着想は奇妙奇天烈に感じられます．これに対する回答ですが，次のように考えてみましょう．

（１）フーリエ級数では，データを一定間隔ごとにサンプリングすると，三角関数のもつ直交基底の性質：

Σｃｏｓ（ｋｘ）＝０，Σｓｉｎ（ｋｘ）＝０，

Σｃｏｓ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）＝０，Σｃｏｓ2（ｋｘ）＝ｎ／２，

Σｓｉｎ（ｉｘ）ｓｉｎ（ｊｘ）＝０，Σｓｉｎ2（ｋｘ）＝ｎ／２，

Σｓｉｎ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）＝０

から非対角要素はすべて０になり，連立方程式を解くことなしにフーリエ係数を簡単に求めることができる

（２）滑らかでない関数も表現可能になる

（３）フーリエ級数は周期関数にしか適用できないが，非周期関数を周期が∞の周期関数とみなすと，非周期関数にも適用できるようになる

（４）周期関数のうちで微積分がもっとも簡単なのは三角関数であり，微分方程式を解くためには，関数を三角関数の和として表せばよい

など，フーリエ級数への展開はテイラー級数への展開よりもはるかに強力な方法になっています．したがって，フーリエはべき級数の方法によって関数を取り扱うよりも，三角級数による任意の関数表現のほうが，これらのメリットを活かせると考えたに違いありません．

　ここで述べたフーリエ級数は離散世界（Σの世界）のものでしたが，未知の係数を計算するために連続世界（∫ｄｘの世界）に拡張したものがフーリエ変換（ＦＴ）です．もちろんこれらのよい性質はＦＴにも遺伝し，関数ｆ（ｘ）のフーリエ係数は

　ａk＝２∫ｆ（ｘ）ｃｏｓｋｘｄｘ，ｂk＝２∫ｆ（ｘ）ｓｉｎｋｘｄｘ

で与えられます．さらに，ＦＦＴは位相補正によって未知の係数を効率よく計算する技法であり，そして，これらが原動力となって，現代解析学が生まれたのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝