フーリエ級数と呼ばれる関数展開は，フランスの数学者・物理学者フーリエが熱伝導に関する著作の中で，任意の周期関数ｙ＝ｆ（ｘ）がサインとコサインの項の和，すなわち，単振動（調和振動ともいう）の和に分解されることを証明したことに始まります．すなわち，ｆ（ｘ）が周期２πをもつ周期関数であるならば，

ｙ＝ｆ（ｘ）

　＝ａ0＋ａ1ｃｏｓｘ＋ｂ1ｓｉｎｘ＋ａ2ｃｏｓ２ｘ＋ｂ2ｓｉｎ２ｘ＋・・・　　＋ａkｃｏｓｋｘ＋ｂkｓｉｎｋｘ＋・・・

と展開することができます．このような形をした関数を三角多項式といいます．この式は，もとの関数ｆ（ｘ）が基本波成分ａ1ｃｏｓｘ＋ｂ1ｓｉｎｘとその高調波成分とを合成したものとして表わせることを意味し，ａj，ｂjはその成分の寄与率を示しています．寄与率は別の言い方をすれば各成分の含有率であり，重みといってもよいでしょう．

　また，サイン波成分を適当な角度だけずらすとコサイン波になるのではサイン波成分とコサイン波成分との分離はあまり絶対的な意味をもちません．したがって，この式は，次式のようにも書き換えることができます．

ｙ＝ｃ0＋ｃ1ｓｉｎ（ｘ＋ｄ1）＋ｃ2ｓｉｎ（２ｘ＋ｄ2）＋・・・　　　　　　　＋ｃkｓｉｎ（ｋｘ＋ｄk）＋・・・

さらに，曲線が奇関数であれば正弦項だけ，偶関数であれば余弦項だけの和となって，もっと簡単な式になります．

　ｆ（ｘ）が滑らかであれば，比較的少ない項でこの級数を打ち切っても，それはｆ（ｘ）をよく近似しますから，有限個の三角級数により関数近似すること（有限三角級数展開）が可能です．

ｙ＝ａ0＋ａ1ｃｏｓｘ＋ｂ1ｓｉｎｘ＋ａ2ｃｏｓ２ｘ＋ｂ2ｓｉｎ２ｘ＋・・・　　＋ａkｃｏｓｋｘ＋ｂkｓｉｎｋｘ

すなわち，フーリエ級数ではあまり短い周期をもつ成分は無視しても構いません．なぜかというと短い周期をもつ成分を無視して元の図形を再現するとその周期に相当した微細な構造が失われるだけで，無視してしまっても大して悪影響はないからです．また，周期関数ｆ（ｘ）の周期は２πですが，周期がＴの関数はω＝２π／Ｔ，ｘ＝ωｔの変換によって新しい変数ｔを考えれば，ｔについての周期２πをもつ関数に変換されますから，上式の形で一般化して論ずることが可能になります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝