正方形をらせん状に並べるとき、隣り合う正方形の1辺の比はある実数解に限りなく近づいていく。

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【１】フィボナッチ数列と黄金比

　　１，１，２，３，５，８，・・・

初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．その一般項Ｆn は

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

です．フィボナッチ数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解より，連続する２項の比は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

に次第に近づくことになります．

　黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．

　今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

で外に広がることになります．

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