高次元の球と立方体の断面の体積

（１）ボールの不等式

　ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．

　１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．

　また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．

　２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

　　１≦Ｖ≦√２

であることが，ボールによって証明されています（1986年）．

　ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．

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（２）ビューズマンの定理とボールの反例

　一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

ｎ　　　 Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

２　　　1.128

３　　　1.209

４　　　1.265

５　　　1.307

６　　　1.339

７　　　1.365

８　　　1.387

９　　　1.405

10　　　1.420

11　　　1.434

12　　　1.445

13　　　1.456

14　　　1.465

　体積１の１０次元超球について，その実際の値を計算してみると１．４２０３・・・となり，体積１の１０次元単位立方体の超平面による切り口の体積√２よりも大きくなります．ここで，半径ｒをほんの少し縮小した超球を考えてみると，単位立方体より断面積は大きいが体積は小さい例を作れることがわかります．

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　ところで，３次元空間内の２つの点対称凸体Ｋ，Ｋ’に関して，凸体の中心を通る任意の平面について，断面積の不等式

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

が成り立つならば，体積についても不等式

　　Ｖ（Ｋ）＞Ｖ（Ｋ’）

が成り立つことが知られています（ビューズマンの定理，1953年）．

　すなわち，１０次元のボールの例は，

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

であっても

　　Ｖ（Ｋ）＜Ｖ（Ｋ’）

という高次元におけるビューズマンの反例になっているのです．

　さて，１０次元以上の一般次元であれば，このような反例が具体的に与えられるのでしょうか？

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，

　　Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)

ですから，ｎ→∞のとき，

　　Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１

これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．

　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，

　　Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!

これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．簡約化すると

　　Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)

　　　　＝{n/(n-1)}^(n/2)

　　　　＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)

　　　　→e^(1/2)

したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．

　　√２＜√ｅ＜√３

ですから，これは高次元ではボールの反例がいくらでも作れることを意味しています．

　逆に，９次元以下ではボールの反例は作られませんが，それ以外のビューズマンの反例については，５次元以上で存在することが証明されています（1992年）．しかし，４次元で反例が作れるかどうかは，現在，未解決の問題として残されています．

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