三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジェルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．

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【３】その他の共点・共線

［１］ド・ロンシャン点

　外心に対する垂心の対称点をド・ロンシャン点と呼びます．△ＡＢＣの各頂点を通って対辺に平行な直線を引き，その交点をＧ，Ｈ，Ｉとします．△ＧＨＩを大三角形と呼ぶことにすると，両者の重心とオイラー線は一致します．もとの三角形の垂心は大三角形の外心に，外心は９点円の中心に，ド・ロンシャン点は垂心になります．

　このことが３本の垂線が１点で交わる証明にもなっています．ついでながら，△ＡＢＣの各辺の中点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，△ＡＢＣの内心は△ＤＥＦの外心となっていることを申し添えておきます．

［２］ジォルゴンヌ点とナーゲル点

　△ＡＢＣの内接円が３辺に接する点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，チェバの定理により，それと向かい合う頂点とを結ぶ３本の直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わります．この点をジォルゴンヌ点といいます．

　また，△ＡＢＣの傍接円が３辺に接する点をＸ，Ｙ，Ｚとすると，３直線ＡＸ，ＢＹ，ＣＺは１点で交わります．この点がナーゲル点です．

　三角形ＡＢＣ内の点Ｐに対し，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長が対辺と交わる点をＸ，Ｙ，Ｚとします．このとき各辺の中点に関するＸ，Ｙ，Ｚの対称点をＸ’，Ｙ’，Ｚ’とすると，チェバの定理により３直線ＡＸ’，ＢＹ’，ＣＺ’は１点Ｑで交わります．このようにしてできる２点Ｐ，Ｑを互いに他の等長共役点と呼びます．ジォルゴンヌ点とナーゲル点は典型的な等長共役点の例ですし，重心は自己等長共役点です．

［３］ナーゲル線

　内心，重心，ナーゲル点はこの順に１直線上にあり，相互の間隔が１：２です．これはオイラー線「外心，重心，垂心がこの順に１直線上に載っていて，間隔が１：２である」ことのアナローグです．

［４］ソディー線

　ジォルゴンヌ点，内心，ド・ロンシャン点は一直線上にあり，オイラー線とはド・ロンシャン点で交わります．

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