２^√２は超越数である。

０，１以外の有理数の無理数乗は無理数である。（ゲルフォント・シュナイダーの定理）

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　√２は無理数である．

　√２＝２^1/2であるから，この例は

　　ａとｂがともに有理数であっても，ａ^bが無理数となる

場合があることを示している．

　それでは

　　ｃとｄがともに無理数であっても，ｃ^dが有理数となる

場合はあるだろうか？

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（証）√２^√２を考える．この数は有理数であるか無理数であるかわからないが，有理数であれば答えはyesということになる．

　そこで，無理数であると仮定する．そして，

　　ｃ＝√２^√２，ｄ＝√２

とおき，ｃ^dを計算すると

　　ｃ^d＝（√２^√２）^√２＝（√２）^√２√２＝（√２）^２＝２

　したがって，

　　ｃとｄがともに無理数であっても，ｃ^dが有理数となる

数が存在することになる．

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［結論］無理数の無理数乗は無理数であるは正しくなく、無理数の無理数乗として表される有理数が存在するのである。

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