外接円の半径:R

内接円の半径:r

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

オイラーの関係式

任意の三角形は外心・内心をもつ。2心間の距離について、2次同次式:R^2-2Rr=d^2が成り立つ（オイラー）。

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが、ポンスレーの不定命題を使えば簡単にオイラーの関係式を導き出せる。オイラーの関係式を導き出せば、正三角形でない場合、直ちにR ≧ 2rがわかる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

フースの関係式

任意の三角形は外心と内心をもつが、四角形ではそうではない。しかし、双心四角形の場合、 2心間の距離について、4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2）^2（フース）が成り立つ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[Q]双心五角形ではどのような関係式が成り立つだろうか？

[A]d^6-2d^4rR+8d^2r^3R-3d^4R^24d^2r^2R^2+4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4-2rR^5-R^6=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[Q]星形五角形ではどのような関係式が成り立つだろうか？

[A]d^6+2d^4rR-8d^2r^3R-3d^4R^2-4d^2r^2R^2-4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4+2rR^5-R^6=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝