円の伸開線、すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は、歯車の歯形として工学に応用されています。

また、スクロール方式のエアコンのコンプレッサーにも使われていて，振動や騒音が少ないという特長をもっている．

円の伸開線の自然方程式は、 κ2(s)=1/2as

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鉢形曲線

回転円の半径が1のとき、ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線の周長と面積は

　　Ｌ={(8n+1)+(8n-1)}/n=16

　　Ｓ={(n+1)(n+2)-(n-1)(n-2)}/n・π=６π

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サイクロイド

17世紀初め、サイクロイドが囲む面積の計算は当時の偉大な数学者たちの関心の的であり、中心的な問題でもあった。

[Q]サイクロイド弧が囲む面積は?

回転円の3倍

弧長は回転円に外接する正方形の周に等しい (L=8, S=3π)

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