Appendix-4

n次対称行列式

Δn=|1,c1,0,・・・,0|

|c1,1,c2,0,・・・,0|

|0,c2,1,c3,0,・・・,0|

　 |・・・・・・・・・|

|0,・・・, cn-2,1,cn-1|

|0,・・・,0,cn-1,1|

において、最初の第ｒ行までと第ｒ列までを除いた小行列式をΔn-r,rで表すことにする。このとき、1辺の長さ2Lの正多胞体の外接超球の半径R0は

M0=|Δn-1,1/Δn|として

R0=LM0^1/2

で与えられることが知られている。

[1]正単体の場合

M0 =(Uｎ-1(1)/2^n-1)/( Uｎ(1)/2^n)=2n/(n+1)

[2]正軸体の場合

M0=(Tｎ-1(1)/2^n-2)/( Tｎ(1)/2^n-1)=2

[3]超立方体の場合

M0 =(Ｕｎ-1(1)/2^n-1)/( Tｎ(1)/2^n-1)=ｎ

[4]正600胞体の場合

Ｍ0=(2τT3(1)/2^3-(τ-1)U3(1)/2^3)/(2τT4(1)/2^4-(τ-1)U4(1)/2^4)=4τ^2

[5]正120胞体の場合

Ｍ0=(T3(1)/2^2)/(2τT4(1)/2^4-(τ-1)U4(1)/2^4)=8τ^4

なお、正多胞体のj次元面の中心を通る超球の半径をRjとおくと

Rj=LMj^1/2において、.

[1]正単体の場合

Mj=2n/(n+1)-2j/(j+1)=2/(j+1)-2/(n+1)

[2]正軸体の場合

Mj=2/(j+1)

[3]超立方体の場合

Mj=ｎ-j

で与えられる。外接超球の半径はj=0、内接超球の半径はj=n-1とおけばよい。

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