Appendix-3

Cn=[0,c1,0,・・・,0]

[c1,0,c2,0,・・・,0]

[0,c2,0,c3,0,・・・,0]

　　[・・・・・・・・・]

[0,・・・, cn-2,0,cn-1]

[0,・・・,0,cn-1,0]

固有方程式Pn(x)=det{xEn-Cn}=0を考える。

第1列に関する展開の後、第1行に関して展開すると、三項漸化式

Pn+1(x)=xPn-c1^2Pn-1(x)　　(n>=2)

P1(x)=x, P2(x)=x^2-cn-1^2,・・・

が得られる。

Pn(x)=det{xEn-Cn}=0の根すなわち固有値を求めてみると、それはすべて実単根であって、隣り合う2根λi,λi+1の間に必ずPn-1(x)=0の根λjがあることが知られている。また、対角線上の成分がすべて0であるため、根は原点について対称である。

[1]正単体の場合

p1=p2=・・・=pn-2=3 , pn-1=3,

c1=c2=・・・=cn-2=1/2 , cn-1=1/2,

Pn+1(x)-xPn+1/4Pn-1(x)=0

P1(x)=x=U1(x)/2

P2(x)=x^2-1/4=U2(x)/4

P3(x)=x(x^2-1/4)-x/4=x^3-x/2= U3(x)/8

帰納法によりPｎ(x)=Uｎ(x)/2^nとなる。

Pｎ(1)=Uｎ(1)/2^n =(ｎ+1)/2^n>0

[2]正軸体の場合

p1=p2=・・・=pn-2=3, pn-1=4,

c1=c2=・・・=cn-2=1/2, cn-1=1/√2,

Pn+1(x)-xPn+1/4Pn-1(x)=0

P1(x)=x=T1(x)

P2(x)=x^2-1/2=T2(x)/2

P3(x)=x(x^2-1/2)-x/4=x^3-3x/4= T3(x)/4

帰納法によりPｎ(x)=Tｎ(x)/2^n-1となる。

Pｎ(1)=Tｎ(1)/2^n-1=1/2^n-1>0

[3]正20面体・正600胞体の場合

p1=p2=・・・=pn-2=3, pn-1=5,

c1=c2=・・・=cn-2=1/2, cn-1=τ/2,τ=(1+√5)/2

Pn+1(x)-xPn+1/4Pn-1(x)=0

P1(x)=x

P2(x)=x^2-τ^2/4

これらが2つの特殊解Tｎ(x)/2^n-1, Uｎ(x)/2^nの1次結合型一般解で表されるとする。

P1(x)=AT1(x)+BU1(x)/2=Ax+B(2x/2)=x

P2(x)=AT2(x)/2+BU2(x)/4=A(2x^2-1)/2+B(4x^2-1)/4= x^2-τ^2/4

係数を比較すると

A+B=1

A/2+B/4=τ^2/4

より、A=τ, B=-τ+1

Pｎ(x)=τTｎ(x)/2^n-1-(τ-1)Un(x)/2^n

2^nPｎ(x)=2τTｎ(x)-(τ-1)Un(x)

τ2^nPｎ(x)=2τ^2Tｎ(x)-Un(x)

が得られる。

漸化式より

P3(x)=x(x^2-τ^2/4)-x/4=x^3-(τ^2+1)x/4

P3(x)=x(x^3-(τ^2+1)x/4)- (x^2-τ^2/4)/4=x^4-(τ^2+2)x^2/4+τ^2/16

一方

τT3(x)/4-(τ-1)U3(x)/8=τ(x^3-3x/4) -(τ-1)(x^3-x/2)=x^3-(3τ-2τ+2)x/4=P3(x)

τT4(x)/8-(τ-1)U4(x)/16=τ(x^4-x^2+1/8) -(τ-1)(x^4-3x^2/4+1/16) =x^4-(τ+3)x^2/4+(τ+1)/16=P4(x)

ところで、固有方程式が1以上の固有値をもてば、そのような正多胞体は存在しえない。最大固有値が1より小さいためにはPn(1)>0でなければならない。

τ2^nPｎ(1)=2τ^2Tｎ(1)-Un(1)= 2τ^2-(n+1)>0

n<2τ^2-1=2+√5より、n<=4に限られることに注意。古典群では不要であったが、散在群では必要条件となる。

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