Appendix-1

ワイソフ多胞体のファセット分解

３次元の場合の一般化として、n次元正多胞体のk次元面の中心をPkで表す。P0は頂点、P1は辺の中点、・・・、Pnはn次元正多胞体の中心である。ファセット分解について、{p1,p2,p3}(q0,q1,q2,q3)の場合で説明すると、4次元原正多胞体{p1,p2,p3}の各頂点・辺・２次元面に対して切断操作が施され、原正多胞体の頂点P0には切頂ファセット{p2,p3}(q1,q2,q3)が構成される。同様に、辺の中点P1には切稜ファセット{p3}(q2,q3)× {}(q0)、2次元面の中心P2には切面ファセット{}(q3)×{p1}(q0,q1)、そして原正多胞体のファセットの中心Pn-1には{p1,p2}(q0,q1,q2)が残ることになる。

なお、ワイソフ多胞体の面数ベクトルf=(f0,f1,f2,・・・, fn-1,fn)は、このようなファセット分解に基づく再帰的なアルゴリズムを用いて計算可能であることを申し添えておきたい。１例を上げると、シュレーフリ・ワイソフ記号が{3, 3, 3, 3, 4}(0, 1, 0, 1, 1, 0)の６次元ワイソフ多胞体の場合、

{3, 3, 3, 4}(1, 0, 1, 1, 0)

{3, 3, 4} (0, 1, 1, 0) ×{}(0)

{3, 4} (1, 1, 0) ×{3}(0, 1)

{4} (1, 0) ×{3, 3} (0, 1, 0)

{} (0) ×{3, 3, 3} (0, 1, 0, 1)

{3, 3, 3, 3}(0, 1, 0, 1, 1)

のようにファセット分解され、そのｆベクトルは(5760, 23040, 32160, 19680, 5276, 476, 1)、頂点周りのｆベクトルは (1, 8, 22, 29, 20,7,1)と計算される。すなわち。このワイソフ多胞体には全部で23040本の辺があり、ひとつの頂点には8本の辺が結合する。それでは相対する頂点同士を何本の辺で結べるだろうかというのが、本稿で設定した問題である。

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