公転と自転の向きを逆方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n

cos（ｍθ+β）-cos(n-1)β＝0

sin（ｍθ+ｎβ）/2sin（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+ｎβ）/2=0,π、2π、3π、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=0,π、2π、3π、・・・

m=n=4

　　ｘ＝2ｃｏｓ（4β+θ）＋4ｃｏｓ（2β-θ）−16ｓｉｎ(β+θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（4β+θ）＋4ｓｉｎ（2β-θ）−16ｃｏｓ(β+θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

ｍθ+ｎβ=0,θ=-βを代入すると

　　ｘ＝2ｃｏｓ（3β）＋4ｃｏｓ（3β）+2ｃｏｓ（3β） =8ｃｏｓ（3β）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（3β）＋4ｓｉｎ（3β）−16-2ｓｉｎ（3β）=-16 (直線)

直線部分の長さは16

（ｍθ-(n-2)β）/2=0、β=2θを代入すると

　　ｘ＝2ｃｏｓ（9θ）＋4ｃｏｓ（3θ）−16ｓｉｎ(3θ）＋2ｃｏｓ（3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（9θ）＋4ｓｉｎ（3θ）−16ｃｏｓ(3θ）＋2ｓｉｎ（3θ）

　　ｘ＝2ｃｏｓ（9θ）＋6ｃｏｓ（3θ）−16ｓｉｎ(3θ）

　　ｙ＝-2ｓｉｎ（9θ）＋6ｓｉｎ（3θ）−16ｃｏｓ(3θ）

　　ｘ＝8ｃｏｓ^3（3θ）−16ｓｉｎ(3θ）

　　ｙ＝8ｓｉｎ^3（3θ）−16ｃｏｓ(3θ）

楕円にはならないようだ

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これはアステロイドの平行曲線で、正三角形の内転形である

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