【２】もっと精密な積分による評価

　ところで，ここまで進んできて，何か物足りない（もどかしい，しっくり来ない）と感じられた方も少なくないものと思われます．なぜなら，上に掲げた再帰性の証明は，不等式による評価をしただけであって，まだ本質をしっかりと掴んだわけではないのです．

　そこでまず１次元酔歩について見直してみることにします．ｘから出発して，ｘ−１，ｘ＋１に行く推移確率はそれぞれ１／２ですから，

　　ｕn+1（ｘ）＝１／２｛ｕn（ｘ−１）＋ｕn（ｘ＋１）｝

　これに着目して，格子空間におけるフーリエ級数展開の方法を適用してみます．θを実変数として，

　　Ｑn（θ）＝Σｕn（ｘ）ｅｘｐ（ｉｘθ）

を考えると，

　　Ｑn+1（θ）＝１／２｛ｅｘｐ（ｉθ）＋ｅｘｐ（−ｉθ）｝Ｑn（θ）

　　　　　　　 ＝Ｑn（θ）ｃｏｓθ

　Ｑn（θ）＝１より，母関数（特性関数）は

　　Ｑn（θ）＝（ｃｏｓθ）^n

と簡単な形になります．

　母関数から確率ｕn（ｘ）を復元するには，フーリエ逆変換

　　ｕn（ｘ）＝１／２π∫(-π,π)ｅｘｐ（−ｉｘθ）Ｑn（θ）ｄθ

するのですが，とくに，ｘ＝０のときは

　　ｕn（０）＝１／２π∫(-π,π)（ｃｏｓθ）^nｄθ

となります．ここで，ｎ＝０，１，２，・・・について和をとれば

　　Σｕ2n＝１／２π∫(-π,π)（１−ｃｏｓθ）^(-1)ｄθ

が得られます．

　２次元格子上の酔歩では，

　　ｕn+1（ｘ，ｙ）＝１／４｛ｕn（ｘ−１，ｙ）＋ｕn（ｘ＋１，ｙ）＋ｕn（ｘ，ｙ−１）＋ｕn（ｘ，ｙ＋１）｝

　　Ｑn+1（θ）＝１／４｛ｅｘｐ（ｉθ）＋ｅｘｐ（−ｉθ）＋ｅｘｐ（ｉφ）＋ｅｘｐ（−ｉφ）｝Ｑn（θ）＝Ｑn（θ）（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２

　これより，

　　ｕ2n＝（１／２π）^2∫(-π,π)∫(-π,π)｛（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２｝^nｄθｄφ

　　Σｕ2n＝（１／２π）^2∫(-π,π)∫(-π,π)｛１−（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２｝^(-1)ｄθｄφ

　まったく同様に，３次元格子上の酔歩では

　　ｕ2n＝（１／２π）^3∫(-π,π)∫(-π,π)∫(-π,π)｛（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＋ｃｏｓψ）／３｝^nｄθｄφｄψ

　　Σｕ2n＝（１／２π）^3∫(-π,π)∫(-π,π)∫(-π,π)｛１−（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＋ｃｏｓψ）／３）｝^(-1)ｄθｄφｄψ

　３次元酔歩の非再帰性を示すには，この積分が確定することがいえればよいのですが，楕円積分を使って，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　　　　　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　　　　　＝１．５１・・・

と評価され，したがって，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　　　＝０．３４・・・

と計算できます．

　このように，母関数の方法は極めて有効ですが，一般に，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)(1-φ(t))^(-1)dt

　　φ(t)＝1/dΣcos(t)

より，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

が得られます．したがって，ｄ次元格子上の再帰確率ｐdは

　　ｐd＝Σｆ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　 ＝１−［∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx］^(-1)

で与えられます．

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