Peter Griffin(1990): Accelerating beyond the third dimension: Returning to the origin in simple random walk, Math. Scientist 15, 24-35

の数表をみると，小生が計算した再帰確率

　　d=3,n=200　→　p3=0.32

　　d=3,n=500　→　p3=0.33

　　d=4,n=100　→　p4=0.19

とすべて一致し，私にとっては大満足の結果となりました．また，その文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

　　　　 ｄ　　 ｐd　　　　　　　　　 ｄ　　 ｐd

　　　　 1　　 1　　　　　　　　　　　13　　.041919　

　　　　 2　　 1　　　　　　　　　　　14　　.038657　

　　　　 3　　 .340537　　　　　　　　15　　.035869　

　　　　 4　　 .193201　　　　　　　　16　　.033458　

　　　　 5　　 .135178　　　　　　　　17　　.031352　

　　　　 6　　 .104715　　　　　　　　18　　.029496　

　　　　 7　　 .085844　　　　　　　　19　　.027848　

　　　　 8　　 .072912　　　　　　　　20　　.026375　

　　　　 9　　 .063447　　　　　　　　30　　.017257　

　　　　 10　　.056197　　　　　　　　40　　.012827　

　　　　 11　　.050455　　　　　　　　100　 .005050　

　　　　 12　　.045789　　　　　　　　　　　　　　　

　再帰確率はｄが大きいほど小さくなりますが，ｄが十分に大きいとき，第１種０次の変形ベッセル関数を使って，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

　〜　1＋2!/2(2d)+3!/2(2d)^2+4!/2(2d)^3+5!/2(2d)^4+5*71/2(2d)^5+･･･

より，

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

で漸近近似されることがその論文には記されています．

　この式では，最初の数項の近似値でも

　　p1=1,p2=1,p3=0.34,p4=0.20,p5=0.13,p6=0.10

ですから，かなり正確な値がでています．

　また，

　　１／２（ｄ−１）＝1/(2d){1+1/d+1/(d^2)+･･･}

ですから，式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

は簡単な割には漸近確率をよく近似し，

　　ｐd　〜　１／（２ｄ−１）　あるいは　ｐd　〜　１／（２ｄ）

よりも外挿した際の誤差が小さいことが理解されます．

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